Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm $P$, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc $40^{\circ }$ để đến đích là điểm $D$, góc $PAD$ bằng $100^{\circ }$. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại $A$ và $B$ (như hình vẽ minh họa).



Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (làm tròn đến 1 chữ số sau dấu thập phân)?

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $PA=8$ km, $AD=3$ km, $PB=7$ km, $\widehat{APB}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$. Cần tính $BD$.

Bước 1: Tính $AB$ trong tam giác $PAB$ (định lí cosin):
$$A{B}^2=P{A}^2+P{B}^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos 40^{\circ }=64+49-112\cdot 0,76604\approx 27,2034$$
$$AB\approx 5,2157\text{ km}$$

Bước 2: Tính $\widehat{PAB}$ (định lí sin):
$$\sin \widehat{PAB}=\frac{PB\cdot \sin 40^{\circ }}{AB}=\frac{7\cdot 0,64279}{5,2157}\approx 0,86275\Rightarrow \widehat{PAB}\approx 59,61^{\circ }$$

Bước 3: Vì tia $AB$ nằm giữa tia $AP$ và tia $AD$ (theo hình vẽ):
$$\widehat{BAD}=\widehat{PAD}-\widehat{PAB}=100^{\circ }-59,61^{\circ }\approx 40,39^{\circ }$$

Bước 4: Tính $BD$ trong tam giác $BAD$ (định lí cosin):
$$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \widehat{BAD}=27,2034+9-2\cdot 5,2157\cdot 3\cdot \cos 40,39^{\circ }$$
$$B{D}^2\approx 36,2034-31,2942\cdot 0,76184\approx 12,365$$
$$BD\approx 3,5165\text{ km}$$

Kiểm tra: tổng các góc tứ giác $PABD$: $\hat{P}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$, $\widehat{BDA}\approx 73,97^{\circ }$, $\widehat{PBD}=\widehat{PBA}+\widehat{ABD}\approx 80,39^{\circ }+65,64^{\circ }=146,03^{\circ }$, tổng $\approx 360^{\circ }$ — thỏa mãn.

Vậy bạn Bình phải đi thêm khoảng $3,5$ km để đến đích $D$.