a) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính giá trị biểu thức sau: $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$

b) Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Lấy các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $BM=\frac{1}{3}BC$, $AC=2AN$, $AP=x$, $0<x<a$. Tính $x$ theo $a$ để $AM$ vuông góc với $NP$.

c) Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính giá trị của $\cos A$

a) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính giá trị biểu thức sau:

$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Do đó $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$ (0,5 điểm)

$=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|\cos \widehat{ACB}$

$(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$ vì $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD})$ (0,5 điểm)

Mặt khác $\widehat{ACB}=45^0$ và theo định lý Pitago ta có: (0,5 điểm)

$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Suy ra $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=a.a\sqrt{2}\cos 45^0=a^2$ (0,5 điểm)

—

b) Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Lấy các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $BM=\frac{1}{3}BC$, $AC=2AN$, $AP=x$, $0<x<a$. Tính $x$ theo $a$ để $AM$ vuông góc với $NP$.



Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ (0,5 điểm)

$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\frac{x}{a}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (0,5 điểm)

$AM\perp NP\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{NP}=0\iff \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(\frac{x}{a}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=0$ (0,5 điểm)

$\iff \frac{2xa}{3}-\frac{1}{6}{a}^2-\frac{1}{3}a\cdot a\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{x}{a}\cdot a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=0$

$\iff x=\frac{2a}{5}$. (0,5 điểm)

—

c) Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính giá trị của $\cos A$ (1 điểm)

Ta có: $\overrightarrow{AD}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}}{2}$ (0,5 điểm)

Theo giả thiết: $AD\perp CM\iff \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CM}=0$

$\iff \left(b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right)=0\iff b{c}^2+b{c}^2\cos A-2c{b}^2\cos A-2c{b}^2=0$

$\iff (c-2b)(1+\cos A)=0\Rightarrow c=2b$ (do $\cos A>-1$)

Khi đó: $C{M}^2=\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}=\frac{a^2-b^2}{2}$

$A{D}^2=\frac{1}{9}{\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)}^2=\frac{1}{9}\left(A{B}^2+4A{C}^2+4\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)=\frac{2}{9}\left(9b^2-a^2\right)$ (0,5 điểm)

$\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \frac{C{M}^2}{A{D}^2}=\frac{9}{4}.\frac{a^2-b^2}{9b^2-a^2}=\frac{3}{4}\iff a^2=3b^2$

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5b^2-a^2}{4b^2}=\frac{1}{2}$.