a) Cho $\tan x=-\frac{1}{3}$ với $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$. Tính $\sin x$ ; $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

b) Giải phương trình $\cot 5x=\sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Với $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$, $x$ ở góc phần tư thứ IV nên $\cos x>0$, $\sin x<0$. Ta có $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{9}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Khi đó $\sin x=\tan x\cdot \cos x=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu b) $\cot 5x=\sqrt{3}\iff 5x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm $S=\left\{\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.