a) Giải phương trình ${\cos }^{2}3x\cos 2x-{\cos }^{2}x=0$.

b) Xét dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=3,u_{n+1}=3-\frac{4}{u_n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số.

a)
$${\cos }^{2}3x\cdot \cos 2x-{\cos }^{2}x=0$$
$$\iff \frac{1+\cos 6x}{2}\cdot \cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0$$
$$\iff (1+\cos 6x)\cdot \cos 2x-(1+\cos 2x)=0$$
$$\iff \cos 2x+\cos 6x\cdot \cos 2x-1-\cos 2x=0$$
$$\iff \cos 6x\cdot \cos 2x-1=0$$
$$\iff \frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 8x)-1=0$$
$$\iff \cos 4x+\cos 8x-2=0$$
$$\iff \cos 4x+\left(2{\cos }^{2}4x-1\right)-2=0$$
$$\iff 2{\cos }^{2}4x+\cos 4x-3=0$$
$$\iff (\cos 4x-1)(2\cos 4x+3)=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}\cos 4x=1\\ \cos 4x=-\frac{3}{2}(vn)\end{array}$$
$$\iff 4x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$$
$$\iff x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

b) Ta có:
$$u_{n+1}=3-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=1-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=\frac{u_n-2}{u_n+2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{u_n+2}{u_n-2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=1+\frac{4}{u_n-2}$$

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n-2}$, $v_1=\frac{1}{u_1-2}=\frac{1}{3-2}=1$. Khi đó:

$$v_{n+1}=4v_n+1$$

$$\iff v_{n+1}+\frac{1}{3}=4\left(v_n+\frac{1}{3}\right)$$

Đặt $a_n=v_n+\frac{1}{3}$, $a_1=v_1+\frac{1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$. Khi đó: $a_{n+1}=4a_n$.

Suy ra $(a_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $a_1=\frac{4}{3}$ và công bội $q=4$.

Suy ra $a_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Suy ra $v_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}$, $\forall n\ge 2$

Suy ra $u_n=2+\frac{1}{v_n}=2+\frac{1}{\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}}=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.