Cho hai số thực $a,b$ đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\frac{1}{{\log }_{\sqrt[4]{ab}}b}$.

Ta có:
$$S={\log }_{a}ab+{\log }_b\sqrt[4]{ab}$$
$$={\log }_{a}ab+\frac{1}{4}{\log }_{b}ab$$
$$=\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)+\frac{1}{4}\left({\log }_{b}a+{\log }_{b}b\right)$$
$$=\left(1+{\log }_{a}b\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{\log }_{a}b}+1\right)$$
$$=\frac{5}{4}+{\log }_{a}b+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}$$

Đặt $t={\log }_{a}b(t>0)$. Khi đó: $S=\frac{5}{4}+t+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{t}=f(t)$ với $t>0$.

Ta có: $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{4t^2}$. Suy ra $f^{\prime }(t)=0\iff 1-\frac{1}{4t^2}=0\iff 4t^2-1=0\iff t=\frac{1}{2}$.

Vẽ bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của $f(t)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $\frac{9}{4}$.