Cho hàm số $y=f(x)=x^3-x^2+2mx-4$. Tìm tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+2m$.

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (-1;+\infty )$

$$\iff 3x^2-2x+2m\ge 0,\forall x\in (-1;+\infty )$$

$$\iff 2m\ge -3x^2+2x,\forall x\in (-1;+\infty )$$

$$\iff m\ge -\frac{3}{2}{x}^2+x,\forall x\in (-1;+\infty )$$

Đặt $g(x)=-\frac{3}{2}{x}^2+x$ với $x\in (-1;+\infty )$. Ta có: $g^{\prime }(x)=-3x+1$.

$g^{\prime }(x)=0\iff -3x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$



Ta có giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ là $\frac{1}{6}$.

Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )\iff m\ge \frac{1}{6}$.