a) Giải phương trình lượng giác $\sin 2x=1$.
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình
$$\sin 2x=m-1$$
có ba nghiệm phân biệt trên $\left[0;\frac{5}{2}\pi \right]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) Đặt $t=2x$, với $x\in \left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ thì $t\in [0;5\pi ]$. Đặt $a=m-1$, xét số nghiệm của $\sin t=a$ trên $[0;5\pi ]$ (độ dài $2,5$ chu kỳ):
- Nếu $|a|>1$: vô nghiệm.
- Nếu $a=-1$: $t=\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{2}$ → 2 nghiệm.
- Nếu $a=0$: $t=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi$ → 6 nghiệm.
- Nếu $0<|a|<1$: mỗi chu kỳ đủ cho 2 nghiệm, nửa chu kỳ cuối $(4\pi ;5\pi )$ cho 1 nghiệm → tổng 5 nghiệm.
- Nếu $a=1$: $t=\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{9\pi }{2}$ → đúng 3 nghiệm (các điểm cực đại, kể cả đầu mút $t=5\pi /2$ tương ứng $x=5\pi /4$).

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt trên $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $m-1=1$, tức $m=2$. Khi đó ba nghiệm là $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{9\pi }{4}$.