Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $(E):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.
a) Xác định độ dài trục lớn, tiêu cự và tâm sai của elip $(E)$.
b) Tìm $M$ trên $(E)$ để $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó $F_1,F_2$ là hai tiêu điểm của $(E)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Elip $(E):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16,b^2=9$ nên $a=4,b=3$, $a>b$ nên trục lớn nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=16-9=7\Rightarrow c=\sqrt{7}$.
- Độ dài trục lớn: $2a=8$.
- Tiêu cự: $2c=2\sqrt{7}$.
- Tâm sai: $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.
Hai tiêu điểm: $F_1(-\sqrt{7};0),F_2(\sqrt{7};0)$.

b) Với mọi $M\in (E)$, theo tính chất elip: $M{F}_1+M{F}_2=2a=8$.
Đặt $u=M{F}_1,v=M{F}_2$ với $u,v>0$, $u+v=8$. Theo bất đẳng thức tam giác (hoặc $|u-v|\le u+v$ với dấu bằng khi $u=v$):
$$|M{F}_1-M{F}_2|=|u-v|\ge 0,$$
dấu bằng xảy ra khi $u=v=4$, tức $M{F}_1=M{F}_2=4$.
Vậy $|M{F}_1-M{F}_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ khi $M$ cách đều hai tiêu điểm, tức $M$ là giao điểm của $(E)$ với trục $Oy$ (trục phụ): $M(0;3)$ hoặc $M(0;-3)$.
Kiểm tra: $M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{(\sqrt{7}{)}^2+3^2}=\sqrt{16}=4$, thỏa mãn.