Một bình chứa 15 quả cầu gồm 4 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 6 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả cầu. Tính xác suất các biến cố sau:
a) trong 4 quả được lấy ra có đủ cả ba màu.
b) trong 4 quả được lấy ra có đúng hai màu khác nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{4}\right)=1365$.

a) Có đủ ba màu: 4 quả chia thành các bộ $(1,1,2)$ theo ba màu:
- 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=4\cdot 5\cdot 15=300$.
- 1 xanh, 2 đỏ, 1 vàng: $4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot 6=4\cdot 10\cdot 6=240$.
- 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 5\cdot 6=6\cdot 30=180$.
Tổng: $300+240+180=720$. Vậy $P=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}$.

b) Đúng hai màu khác nhau (mỗi màu xuất hiện ít nhất 1 quả), xét từng cặp màu:
- Xanh và đỏ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=40+60+20=120$.
- Xanh và vàng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=80+90+24=194$.
- Đỏ và vàng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=100+150+60=310$.
Tổng: $120+194+310=624$. Vậy $P=\frac{624}{1365}=\frac{208}{455}$.

Kiểm tra: các trường hợp một màu duy nhất: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)=1+5+15=21$; $720+624+21=1365$ khớp tổng, kết quả nhất quán.