a) Giải phương trình: $x^2+x+\sqrt{3x+10}=10$.
b) Giải bất phương trình: ${\log }_9{x}^2+{\log }_{3}x+5\le {\log }_{3}5x+9$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1a) Điều kiện: $3x+10\ge 0⟺x\ge -\frac{10}{3}$.

Đặt $t=\sqrt{3x+10}\ge 0$, suy ra $x=\frac{t^2-10}{3}$. Phương trình trở thành
$${\left(\frac{t^2-10}{3}\right)}^2+\frac{t^2-10}{3}+t=10.$$
Nhân hai vế với $9$:
$$(t^2-10{)}^2+3(t^2-10)+9t=90⟺t^4-17t^2+9t-20=0.$$
Phân tích: $t^4-17t^2+9t-20=(t-4)(t^3+4t^2-t+5)=0$.

Xét $g(t)=t^3+4t^2-t+5$ với $t\ge 0$: $g^{\prime }(t)=3t^2+8t-1$ có nghiệm dương $t_0=\frac{-8+\sqrt{76}}{6}\approx 0,12$; trên $[0;t_0]$ hàm giảm và $g(t_0)\approx 4,94>0$, trên $[t_0;+\infty )$ hàm tăng nên $g(t)>0$ với mọi $t\ge 0$. Vậy phương trình vô nghiệm trên nhánh này.

Do đó $t=4\Rightarrow \sqrt{3x+10}=4⟺3x+10=16⟺x=2$. Thử lại: $2^2+2+\sqrt{16}=4+2+4=10$ (thỏa mãn).

Kết luận: $S=\{2\}$.

Bài 1b) Điều kiện: $x>0$ (khi đó $5x>0$ tự thỏa).

Với $x>0$: ${\log }_9{x}^2=\frac{{\log }_3{x}^2}{{\log }_{3}9}=\frac{2{\log }_{3}x}{2}={\log }_{3}x$ và ${\log }_{3}5x={\log }_{3}5+{\log }_{3}x$.

Bất phương trình trở thành
$${\log }_{3}x+{\log }_{3}x+5\le {\log }_{3}5+{\log }_{3}x+9$$
$$⟺{\log }_{3}x\le 4+{\log }_{3}5={\log }_3(81\cdot 5)={\log }_{3}405$$
$$⟺x\le 405.$$

Kết hợp điều kiện $x>0$: tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;405]$.