Xét dãy các hình phẳng được xác định như sau: là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên , hình được tạo thành từ hình bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của , sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng. Dưới đây là hình minh họa cho và .
[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]
Kí hiệu là diện tích của hình , tính .
Xét dãy các hình phẳng được xác định như sau: là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên , hình được tạo thành từ hình bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của , sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng. Dưới đây là hình minh họa cho và .
[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]
Kí hiệu là diện tích của hình , tính .
[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]
Kí hiệu là diện tích của hình , tính .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Đây là biến thể 'ngược' của đường cong Koch: tam giác đều được dựng vào phía trong nên diện tích bị bớt đi ở mỗi bước.
Bước 0: là lục giác đều cạnh 1 nên .
Quan sát quá trình: mỗi cạnh của bị thay bởi đường gấp khúc gồm đoạn, mỗi đoạn dài bằng cạnh cũ, nên có cạnh, mỗi cạnh dài .
Khi chuyển từ đến , trên mỗi cạnh ta bỏ đi tam giác đều cạnh (vì dựng vào phía trong), nên diện tích bị giảm một lượng:
Tổng diện tích bị mất:
Vậy
Đây là biến thể 'ngược' của đường cong Koch: tam giác đều được dựng vào phía trong nên diện tích bị bớt đi ở mỗi bước.
Bước 0: là lục giác đều cạnh 1 nên .
Quan sát quá trình: mỗi cạnh của bị thay bởi đường gấp khúc gồm đoạn, mỗi đoạn dài bằng cạnh cũ, nên có cạnh, mỗi cạnh dài .
Khi chuyển từ đến , trên mỗi cạnh ta bỏ đi tam giác đều cạnh (vì dựng vào phía trong), nên diện tích bị giảm một lượng:
Tổng diện tích bị mất:
Vậy