Cho x, y, z là các số thực thay đổi, thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z = 4 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x x 2 +1 + y y 2 +1 + z z 2 +1 .

Question

Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Điều kiện: x 2+y 2+z 2+x+y+z= 4 3 , tức cyc (x 2+x)= 4 3 . Dùng phương pháp tiếp tuyến: tìm , sao cho với mọi số thực t: 108(t 2+t)(t 2+1)+27(t 2+1)-250t=108t 4+108t 3+135t 2-142t+27=(3t-1) 2(12t 2+20t+27) 0, P 54 125 (x 2+y 2+z 2+x+y+z )+3 27 250 = 54 125 4 3 + 81 250 = 144 250 + 81 250 = 9 10 .$ Đẳng thức xảy ra khi x=y=z= 1 3 (thỏa mãn ràng buộc vì 3 ( 1 9 + 1 3 )= 4 3 ), khi đó P=3 1/3 1/9+1 = 9 10 . Vậy P= 9 10 , đạt tại x=y=z= 1 3 $.

Cho $x, y, z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z = \frac{4}{3}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x}{x ^{2} + 1} + \frac{y}{y ^{2} + 1} + \frac{z}{z ^{2} + 1}$ .

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi THPT Toán 2025-2026 Cà Mau

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)

Cho x,y,z là các số thực thay đổi, thỏa mãn x2+y2+z2+x+y+z=34​. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+1x​+y2+1y​+z2+1z​.

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi THPT Toán 2025-2026 Cà Mau

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)

Cho $x, y, z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z = \frac{4}{3}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x}{x ^{2} + 1} + \frac{y}{y ^{2} + 1} + \frac{z}{z ^{2} + 1}$ .