Cho một hình vuông có cạnh bằng 5. Trên mỗi cạnh của hình vuông, xác định 4 điểm sao cho chúng chia cạnh đó thành 5 đoạn thẳng bằng nhau. Gọi $S$ là tập hợp gồm 16 điểm vừa xác định và 4 đỉnh của hình vuông.
a) Có bao nhiêu cách chọn 2 điểm trong $S$ sao cho khoảng cách giữa chúng đúng bằng 5?
b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 điểm trong $S$, tính xác suất để 2 điểm được chọn có khoảng cách không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông cạnh 5, mỗi cạnh chia thành 5 đoạn nên ta được lưới $6\times 6=36$ điểm... nhưng $S$ chỉ gồm 16 điểm chia cạnh và 4 đỉnh — thực chất các điểm này chính là toàn bộ các nút của lưới $6\times 6$ (mỗi cạnh có 6 nút: 4 điểm chia + 2 đỉnh, và các nút trong chỉ nằm trên cạnh). Vậy $S$ gồm 20 điểm, lập thành lưới toạ độ $(i,j)$, $0\le i,j\le 5$, khoảng cách giữa hai điểm kề nhau bằng 1.

a) Đếm các cặp điểm có khoảng cách đúng bằng 5:
- Ngang/dọc: $\Delta x=5,\Delta y=0$ hoặc $\Delta x=0,\Delta y=5$: mỗi hàng có 1 cặp, 6 hàng, 2 phương: $6+6=12$ cặp.
- Chéo: $\Delta x^2+\Delta y^2=25$ với $\Delta x,\Delta y>0$ chỉ có $(3,4)$ và $(4,3)$. Số cặp với $|\Delta x|=3,|\Delta y|=4$ là $(6-3)(6-4)=6$; với $|\Delta x|=4,|\Delta y|=3$ cũng là $6$. Tổng $12$ cặp.
Vậy có $12+12+12=36$ cách chọn.

b) Tổng số cách chọn 2 điểm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Đếm số cặp có khoảng cách lớn hơn 5, tức $\Delta x^2+\Delta y^2>25$ với $0\le \Delta x,\Delta y\le 5$ (số cặp ứng với $(a,b)$, $a,b>0$ là $2(6-a)(6-b)$; với $(0,b)$ không có trường hợp nào vì $b\le 5$):
- $(1,5)$: $2\cdot 5\cdot 1=10$; $(2,5)$: $2\cdot 4\cdot 1=8$; $(3,5)$: $2\cdot 3\cdot 1=6$; $(4,4)$: $2\cdot 2^2=8$; $(4,5)$: $2\cdot 2\cdot 1=4$; $(5,5)$: $2\cdot 1=2$.
(Kiểm tra: $(3,4)$ có $3^2+4^2=25$ nên khoảng cách đúng 5, không tính.)
Tổng số cặp có khoảng cách $>5$ là $10+8+6+8+4+2=38$.
Số cặp có khoảng cách không lớn hơn 5: $190-38=152$.
Xác suất $P=\frac{152}{190}=\frac{76}{95}\approx 0,8$.