a) Tìm tập xác định hàm số $y=\tan x+\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\cos x+{\sin }^2\frac{x}{2}+3$.

c) Cho tam giác ABC, chứng minh
$$a\cdot \sin \left(B-C\right)+b\cdot \sin \left(C-A\right)+c\cdot \sin \left(A-B\right)=0.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm $\tan x$ xác định khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Biểu thức dưới căn: $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ với $1+\cos x\ge 0$ luôn đúng; mẫu phải dương (khác 0) nên $\cos x\ne 1\iff x\ne 2k\pi$. Khi $\cos x=-1$ (tức $x=\pi +2k\pi$) thì phân số bằng 0, căn vẫn xác định. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $y=\cos x+{\sin }^2\frac{x}{2}+3=\cos x+\frac{1-\cos x}{2}+3=\frac{\cos x}{2}+\frac{7}{2}$. Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $y\in \left[3;4\right]$: $\min y=3$ khi $\cos x=-1$ ($x=\pi +2k\pi$), $\max y=4$ khi $\cos x=1$ ($x=2k\pi$).

c) Theo định lý sin, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, nên vế trái $=2R[\sin A\sin (B-C)+\sin B\sin (C-A)+\sin C\sin (A-B)]$. Khai triển:
$\sin A\sin (B-C)=\sin A\sin B\cos C-\sin A\cos B\sin C$;
$\sin B\sin (C-A)=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$;
$\sin C\sin (A-B)=\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B$.
Cộng lại, các cặp số hạng triệt tiêu từng đôi một ($\sin A\sin B\cos C$ với $-\sin B\cos C\sin A$; $-\sin A\cos B\sin C$ với $\sin C\sin A\cos B$; $\sin B\sin C\cos A$ với $-\sin C\cos A\sin B$), nên tổng bằng 0. Vậy đẳng thức được chứng minh.