Tìm những điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ thỏa mãn

a) Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc $60^o$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): $a^2=9,b^2=1\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2}$, hai tiêu điểm $F_1(-2\sqrt{2};0)$, $F_2(2\sqrt{2};0)$, tâm sai $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Với $M(x;y)$ trên elip, bán kính qua tiêu điểm: $r_1=M{F}_1=a+ex=3+ex$, $r_2=M{F}_2=a-ex=3-ex$.

a) Điều kiện $r_1=2r_2$: $3+ex=2(3-ex)\Rightarrow 3ex=3\Rightarrow ex=1\Rightarrow x=\frac{1}{e}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$ (thỏa $|x|\le 3$). Thay vào phương trình elip: $y^2=1-\frac{x^2}{9}=1-\frac{9\cdot 2}{16\cdot 9}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{14}}{4}$.
Vậy các điểm cần tìm: $M\left(\frac{3\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ và $M^{\prime }\left(\frac{3\sqrt{2}}{4};-\frac{\sqrt{14}}{4}\right)$.
Kiểm tra: $r_2=3-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}=3-1=2$, $r_1=4=2r_2$. Đúng.

b) Góc nhìn hai tiêu điểm tại $M$ là $\widehat{F_{1}M{F}_2}=60^{\circ }$. Theo định lý cosin với $r_1+r_2=2a=6$, $F_1{F}_2=2c=4\sqrt{2}$:
$$\cos 60^{\circ }=\frac{r_1^2+r_2^2-(2c{)}^2}{2r_1{r}_2}=\frac{(r_1+r_2{)}^2-2r_1{r}_2-8}{2r_1{r}_2}.$$
Đặt $p=r_1{r}_2$: $\frac{1}{2}=\frac{36-2p-8}{2p}\Rightarrow p=28-2p\Rightarrow p=\frac{28}{3}$.
Khi đó $r_1,r_2$ là nghiệm của $t^2-6t+\frac{28}{3}=0$ với $\Delta =36-\frac{112}{3}=-\frac{4}{3}<0$: vô nghiệm.
Cách khác: góc nhìn lớn nhất đạt tại đỉnh trục nhỏ $(0;1)$, khi đó $\cos \theta =\frac{9+9-8}{18}=\frac{5}{9}$, tức $\theta \approx 56,25^{\circ }<60^{\circ }$.
Vậy không tồn tại điểm nào trên elip nhìn hai tiêu điểm dưới góc $60^{\circ }$.