a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A và có trọng tâm G. Biết rằng các đỉnh A và B cùng nằm trên trục hoành, đường thẳng chứa cạnh BC có p

Question

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A và có trọng tâm G. Biết rằng các đỉnh A và B cùng nằm trên trục hoành, đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình 4x-3y-12=0, diện tích tam giác ABG bằng 8. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC=a, AC=b, AB=c. Gọi M là trung điểm của cạnh AC và D là chân đường phân giác trong góc A. Giả sử đường thẳng AD cắt đường trung tuyến BM tại điểm H sao cho AH là đường cao của tam giác ABM. Tính giá trị A, biết rằng tỉ số giữa độ dài đường trung tuyến BM và độ dài đường phân giác AD bằng 3 2 .

Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: a) Tọa độ của B là nghiệm của hệ: Tam giác ABC vuông tại A, suy ra AC AB. Vì AB Ox nên AC Oy. Điều này dẫn đến đỉnh C có cùng hoành độ với đỉnh A. Gọi A(a;0) thì C(a;y C). Vì C thuộc đường thẳng BC: 4x - 3y - 12 = 0, ta có: Vậy A(a;0) và C (a; 4 3 (a - 3) ). AB = |x B - x A| = |3 - a| = |a - 3|. AC = |y C - y A| = | 4 3 (a - 3) - 0 | = 4 3 |a - 3|. S ABG = 8 S ABC = 3S ABG = 24 1 2 AB.AC = 24 1 2 |a-3| 4 3 |a-3| = 24 |a-3| = 6 cases a = 9 \ a = -3 cases Với a = 9 A(9; 0), B(3;0), C(9;8) Với a = -3 A(-3; 0), B(3;0), C(-3;-8) b) Xét tam giác ABM có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác ABM cân tại A. Suy ra AB = AM, AM = AC 2 = b 2 c = b 2 b = 2c. Sử dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ABC: BM 2 = 2(a 2 + c 2) - b 2 4 . Thay b = 2c vào ta được: BM 2 = 2a 2 + 2c 2 - 4c 2 4 = 2a 2 - 2c 2 4 = a 2 - c 2 2 Trong tam giác vuông AHM: AH 2 = AM 2 - HM 2 Vì ABM cân tại A nên H là trung điểm BM, do đó HM = BM 2 HM 2 = BM 2 4 . AH 2 = ( b 2 ) 2 - 1 4 ( a 2 - c 2 2 ) = b 2 4 - a 2 - c 2 8 Thay b = 2c b 2 = 4c 2: AH 2 = 4c 2 4 - a 2 - c 2 8 = 8c 2 - a 2 + c 2 8 = 9c 2 - a 2 8 Gọi N là trung điểm DC Ta có AD = 2MN, MN = 2HD AD = 4HD AD = 4 3 AH AD 2 = 16 9 AH 2. Theo giả thiết ta có 2BM = 3 AD 4BM 2 = 3AD 2 4 a 2 - c 2 2 = 3 16 9 9c 2 - a 2 8 a 2 = 3c 2 Theo định lý cosin: A = b 2 + c 2 - a 2 2bc = 4c 2 + c 2 - 3c 2 2.2c.c = 1 2 A = 3 2 A = 3 .

Đề Thi Học Sinh Giỏi Tỉnh Lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2025-2026 Môn Toán

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)