Cho tập $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số( hai vị trí khác nhau đặt hai số khác nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau.

Số nằm ở O là số lẻ nên thuộc tập $x=\{1,3,5,7\}$.
Gọi các cặp số đối xứng nhau qua tâm O là; $(a;d),(b;e),(c;f)$
Theo giả thiết: 3 số trên đường chéo qua $O$ có tổng bằng nhau nên;
$a+x_0+d=b+x_0+e=c+x_0+f$
suy ra $a+d=b+e=c+f=k$
Ta có:
Tổng của 7 chữ số là: $1+2+3+4+5+6+7=28$ nên $x_0+(a+d)+(b+e)+(c+f)=28$, suy ra $x_0+3k=28$
Trong đó $x_0$ thuộc X, là số lẻ và $k$ là số nguyên dương

TH1: $x_0=1$. Suy ra $k=9$, vậy các cặp gồm 2 phần tử từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ có tổng bằng 9 là: $(3;6),(2;7),(4;5)$ nên có 1 cách chọn $x_0$, chọn 3 cặp số để bỏ vào ba cặp đỉnh đối diện có: $1.3!.2^3=48$ (cách)

TH2: $x_0=3$ suy ra $3k=25$ (loại)

TH3: $x_0=5$ suy ra $3k=23$ (loại)

TH4: $x_0=7$ suy ra $k=7$. Vậy các cặp gồm 2 phần tử từ $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng 7 là: $(1;6),(2;5),(4;3)$ nên có 1 cách chọn $x_0$, chọn 3 cặp số để bỏ vào ba cặp đỉnh đối diện có: $1.3!.2^3=48$ (cách).
Như vậy có 48+48=96 (cách)