a) Trong năm đầu tiên đi làm, anh Huy nhận được lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh Huy lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12\% so với mỗi tháng năm trước. Kể từ năm thứ hai, mỗi khi lĩnh lương, anh Huy đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước đó để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi tính từ khi đi làm, sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh Huy mua được ô tô giá 500 triệu đồng biết rằng anh Huy được gia đình hỗ trợ 32\% giá trị chiếc xe?

b) Hai bạn Hải và Sơn cùng chơi một trò chơi như sau: Hải có một hộp gồm 9 quả bóng được đánh số từ 1 đến 9, Sơn có một hộp gồm 8 quả bóng được đánh số từ 1 đến 8. Mỗi bạn bốc ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp của mình rồi xếp các số ghi trên 3 quả bóng bốc được theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có 3 chữ số. Bạn nào có số lớn hơn là người chiến thắng. Tính xác suất để bạn Sơn thua.

a) Số tiền mà anh Huy phải trả khi mua xe ô tô là $500\cdot 0,68=340$ (triệu đồng).

Tổng tiền lương năm đầu tiên anh Huy nhận được là $T_1=10\cdot 12=120$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ hai là $T_2=120\cdot 1,12-120=120\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ ba là $T_3=120\cdot 1,12^2-120\cdot 1,12=120\cdot 1,12\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ $n$ là
$$T_n=120\cdot 1,12^{n-1}-120\cdot 1,12^{n-2}=120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12\text{ (triệu đoˆˋng)}$$

Tổng số tiền tiết kiệm của anh Huy sau năm thứ $n$ là
$$T=T_2+T_3+\dots +T_n=120\cdot 0,12+120\cdot 1,12\cdot 0,12+\dots +120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12$$
$$=120\cdot 0,12\cdot \left(1+1,12+\dots +1,12^{n-2}\right)=120\cdot 0,12\cdot \frac{1,12^{n-1}-1}{1,12-1}=120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)$$

Để anh Huy đủ tiền mua xe thì
$$T\ge 340\iff 120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)\ge 340\iff n-1\ge {\log }_{1,12}\left(\frac{23}{6}\right)\Rightarrow n\ge 12,8$$

Vậy tính từ khi đi làm, phải ít nhất 13 năm thì anh Huy mới đủ tiền mua ô tô.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_9^3\cdot C_8^3=84\cdot 56=4704$.

Gọi A là biến cố “Sơn thua” tức là số của Sơn nhỏ hơn số của Hải.

Gọi bộ 3 quả bóng Hải bốc được là $H=\{h_1;h_2;h_3\}$ với $h_1>h_2>h_3$.

Gọi bộ 3 quả bóng Sơn bốc được là $S=\{s_1;s_2;s_3\}$ với $s_1>s_2>s_3$.

Số của Hải là $\overline{h_1{h}_2{h}_3}$, số của Sơn là $\overline{s_1{s}_2{s}_3}$.

Trường hợp 1: Hải bốc được quả bóng số 9. Khi đó số của Hải luôn lớn hơn của Sơn. Số cách chọn là $C_8^2\cdot C_8^3=28\cdot 56=1568$.

Trường hợp 2: Hải không bốc được quả bóng số 9. Khi đó Hải và Sơn đều bốc 3 quả ngẫu nhiên từ tập $\{1;2;\dots ;8\}$.

Số cách chọn là $C_8^3\cdot C_8^3=56\cdot 56=3136$. Vai trò của Hải và Sơn như nhau, có 3 khả năng: Hải thắng, Sơn thắng và hòa. Số trường hợp hòa (hai bạn bốc giống nhau) là $C_8^3=56$.

Số trường hợp Hải thắng và Sơn thắng là như nhau và bằng $\frac{3136-56}{2}=1540$.

$$\Rightarrow n(A)=1568+1540=3108$$
$$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}$$