Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/ $m^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/ $m^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm? (Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
**Bước 1: Xác định hàm $f(x)$.** Từ hình vẽ, $O(0;0)$, $C(3;0)$, $B$ là điểm cực đại thuộc đường thẳng $AB$ song song Ox, $A$ thuộc trục Oy. Đặt $A(0;h)$, $B(2;h)$. Hàm bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ (vì $f(0)=0$) thỏa $f(3)=0$, $f^{\prime }(2)=0$, $f(2)=h$. Từ $f(3)=0$ và $f^{\prime }(2)=0$ suy ra $b=-3a$, $c=0$, nên $f(x)=a{x}^2(x-3)$ với $a=-\frac{h}{4}$, tức $f(x)=-\frac{h}{4}{x}^3+\frac{3h}{4}{x}^2$.

**Bước 2: Dùng chi phí để tìm $h$.** Diện tích hồ bơi (phần màu xanh bên trái, giới hạn bởi Oy, đoạn $AB$ và đồ thị $f$ từ $O$ đến $B$): $S_1={\int }_0^2(h-f(x))dx=h$ (đơn vị diện tích). Diện tích vườn cỏ (phần bên phải, giới hạn bởi đồ thị $f$ và trục Ox từ $O$ đến $C$): $S_2={\int }_0^{3}f(x)dx={\left[-\frac{h}{16}{x}^4+\frac{h}{4}{x}^3\right]}_0^3=\frac{27h}{16}$.
Vì mỗi đơn vị trục là $10m$ nên $1$ đơn vị diện tích $=100m^2$. Tổng chi phí: $100h\cdot 400000+\frac{27h}{16}\cdot 100\cdot 200000=295000000\Rightarrow 40000h+33750h=295000$ (nghìn đồng) $\Rightarrow 73750h=295000\Rightarrow h=4$.
Vậy $f(x)=-x^3+3x^2$, $B(2;4)$, $A(0;4)$. (Kiểm tra: hồ bơi $400m^2$ → 160 triệu; vườn $675m^2$ → 135 triệu; tổng 295 triệu ✓).

**Bước 3: Tìm độ dài $MN$ ngắn nhất.** Con đường $g(x)=\frac{x+1}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}$ $(x>2)$, $g^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-2{)}^2}$. Đoạn $MN$ ngắn nhất đi từ vườn (điểm $M$ trên đồ thị $f$, ranh giới gần đường nhất) đến $N$ trên đường $g$, với $MN$ vuông góc với tiếp tuyến của $g$ tại $N$.

Với $M(x;f(x))$, $N(t;g(t))$, $s=t-2>0$, điều kiện vuông góc:
$$(x-t)+(f(x)-g(t))\cdot g^{\prime }(t)=0⟺(x-2-s)s^2=3(f(x)-1-\frac{3}{s}).$$
Dùng phương pháp thử nghiệm số (hoặc đạo hàm của hàm khoảng cách):
- $x=2,35$: $f(2,35)\approx 3,590$; giải phương trình được $s\approx 1,0535$, $t\approx 3,0535$, $g(t)\approx 3,848$.
- $MN=\sqrt{(2,35-3,0535{)}^2+(3,590-3,848{)}^2}\approx \sqrt{0,4949+0,0666}\approx 0,7493$ đơn vị.

Kiểm tra lân cận: $x=2,3$ cho $MN\approx 0,758$; $x=2,4$ cho $MN\approx 0,7507$ — đều lớn hơn, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x\approx 2,35$ với $M{N}_{\min }\approx 0,7493$ đơn vị.

**Bước 4: Đổi đơn vị.** $M{N}_{\min }\approx 0,7493\times 10\approx 7,49$ mét.