Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất $7\%$ một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất $8\%$ một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất $12\%$ một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An thu được lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng sau một năm đầu tư?

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là $x,y$ (triệu đồng) $(0\le x,y\le 1200)$.

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là $1200-x-y$ (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: $x\ge 3y$ hay $x-3y\ge 0$.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: $1200-x-y\le 200$ hay $x+y\ge 1000$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 1200\\ 0\le y\le 1200\\ x-3y\ge 0\\ x+y\ge 1000\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$ với tọa độ các điểm $A(1000;0)$, $B(750;250)$, $C(1200;400)$, $D(1200;0)$. Như hình vẽ dưới đây.



Lợi nhuận bác An thu được là: $F(x,y)=7\%x+8\%y+12\%(1200-x-y)$ (triệu đồng) hay $F(x,y)=0,07x+0,08y+0,12(1200-x-y)=144-0,05x-0,04y$ (triệu đồng)

Tính giá trị của $F(x,y)$ tại các điểm $A,B,C,D$ ta được:
$F(1000;0)=94$ (triệu đồng)
$F(750;250)=96,5$ (triệu đồng)
$F(1200;400)=68$ (triệu đồng)
$F(1200;0)=84$ (triệu đồng)

Suy ra hàm $F(x;y)$ lớn nhất bằng 96,5 (triệu đồng) khi $x=750,y=250$.

Vậy bác An nên đầu tư 750 trái phiếu chính phủ, 250 trái phiếu ngân hàng và 200 trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.