Bác An đầu tư 2 tỷ đồng vào ba loại trái phiếu: Trái phiếu Chính phủ với lãi suất 5\%/năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 7\%/năm, trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 9\%/năm. Vì muốn an toàn, Bác An quy định: Số tiền đầu tư vào trái phiếu Chính phủ phải ít nhất gấp 2 lần số tiền đầu tư vào trái phiếu ngân hàng. Số tiền đầu tư vào trái phiếu doanh nghiệp không vượt quá 400 triệu đồng. Hỏi Bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu để lợi nhuận sau một năm lớn nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư vào trái phiếu Chính phủ, ngân hàng, doanh nghiệp. Điều kiện: $x+y+z=2000$, $x\ge 2y\ge 0$, $0\le z\le 400$. Lợi nhuận sau một năm: $P=0,05x+0,07y+0,09z$. Vì $x=2000-y-z$ nên $P=0,05(2000-y-z)+0,07y+0,09z=100+(0,07-0,05)y+(0,09-0,05)z=100+0,02y+0,04z$. Hàm $P$ tăng theo cả $y$ và $z$, nên lấy $z=400$ (giá trị lớn nhất cho phép). Khi đó $x+y=1600$ với $x\ge 2y\Rightarrow 3y\ge x+y=1600\Rightarrow y\le \frac{1600}{3}$. Vì hệ số của $y$ dương, lấy $y=\frac{1600}{3}$, suy ra $x=\frac{3200}{3}$. Kiểm tra: $x=\frac{3200}{3}\approx 1066,67=2y$ (thỏa dấu bằng). Lợi nhuận lớn nhất: $P=0,05\cdot \frac{3200}{3}+0,07\cdot \frac{1600}{3}+0,09\cdot 400=\frac{160}{3}+\frac{112}{3}+36=\frac{380}{3}\approx 126,67$ triệu đồng. Kết luận: Bác An nên đầu tư $\frac{3200}{3}$ triệu $\approx 1$ tỷ $66$ triệu $667$ nghìn đồng vào trái phiếu Chính phủ, $\frac{1600}{3}$ triệu $\approx 533$ triệu $333$ nghìn đồng vào trái phiếu ngân hàng, và $400$ triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp; lợi nhuận lớn nhất sau một năm là $\frac{380}{3}\approx 126,67$ triệu đồng.