Bác Minh có một khu đất hình thang vuông $ABCD$ với $AB=100$ (m), $DC=60$ (m) và $AD=40$ (m). Bác ấy đã đào một cái ao để nuôi cá, ao được bao bởi cạnh $AB$ và một phần của đường cong $f(x)$, biết rằng $f(x)$ chứa các điểm $K$ sao cho tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ luôn bằng $600\sqrt{2}$ (m). Đồng thời Bác muốn làm một con đường đi từ điểm $M$ trên cạnh $AD$ ra một điểm $E$ trên mép ao cá, rồi lại từ điểm $E$ đó tới một điểm $F$ trên cạnh $DC$. Hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(100;0)$, $D(0;40)$, $C(60;40)$. Khi đó $AD$ là đường thẳng $x=0$, $BC$ là đường thẳng $x+y=100$ (đi qua $B(100;0)$ và $C(60;40)$).

Tìm đường cong $f(x)$: với điểm $K(x;y)$ trên $f$, khoảng cách từ $K$ đến $AD$ là $x$, khoảng cách đến $BC$ là $\frac{100-x-y}{\sqrt{2}}$. Theo giả thiết: $$x\cdot \frac{100-x-y}{\sqrt{2}}=600\sqrt{2}\Rightarrow x(100-x-y)=1200\Rightarrow y=f(x)=100-x-\frac{1200}{x}.$$

Tìm chiều dài ngắn nhất của đường đi $M\to E\to F$: với $E(x;f(x))$ trên mép ao, $M\in AD$, $F\in DC$ (đường thẳng $y=40$): $ME\ge d(E,AD)=x$ (dấu bằng khi $ME\perp AD$, tức $M(0;f(x))$); $EF\ge d(E,DC)=40-f(x)$ (dấu bằng khi $EF\perp DC$, tức $F(x;40)$). Vậy tổng chiều dài nhỏ nhất ứng với mỗi $E$ là: $$g(x)=x+40-f(x)=x+40-100+x+\frac{1200}{x}=2x-60+\frac{1200}{x}.$$

Tìm min: $g^{\prime }(x)=2-\frac{1200}{x^2}=0\iff x^2=600\iff x=10\sqrt{6}\approx 24,49$. Khi đó $f(x)=100-10\sqrt{6}-12\sqrt{6}=100-22\sqrt{6}\approx 26,52$, thỏa mãn $E$ nằm trên cung mép ao (giữa hai giao điểm của $f$ với $AB$, tức $x\in [50-10\sqrt{13};50+10\sqrt{13}]$), các chân vuông góc $M(0;100-22\sqrt{6})\in AD$ và $F(10\sqrt{6};40)\in DC$ đều hợp lệ.

Giá trị nhỏ nhất: $$g(10\sqrt{6})=20\sqrt{6}-60+12\sqrt{6}=40\sqrt{6}-60\approx 37,98\approx 38.$$

Vậy tổng chiều dài con đường ngắn nhất là $40\sqrt{6}-60\approx 38$ (m).