Hỏi hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$.

a) $y^{\prime }=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. $y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11$ (cực đại), $y(2)=\frac{4-6+5}{3}=1$ (cực tiểu). Đường thẳng qua $(-4;-11)$ và $(2;1)$: hệ số góc $\frac{1+11}{2+4}=2$, $y=2x-3$. Vậy khẳng định $y=2x+3$ là SAI.

b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$). SAI.

c) Phép chia: $x^2-3x+5=(x+1)(x-4)+9$, nên $y=x-4+\frac{9}{x+1}$. Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$. SAI.

d) $y^{\prime }<0\iff -4<x<2,x\ne -1$, tức hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $(-4;-11)$, điểm cực tiểu $(2;1)$, đường thẳng qua hai điểm là $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{9}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$.