Biết hàm số $y=f(x)=\frac{x+a}{x+1}$ ($a$ là số thực cho trước và $a\ne 1$) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận ngang y=1, đồ thị đi qua (0;-1) nên a=-1. Khi đó f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1).
a) Đúng: Đồ thị y=1-2/(x+1) có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-1;1).
b) Sai: f'(x)=2/(x+1)^2>0 nên f đồng biến trên [0;3], max tại x=3: f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) Đúng: Điểm nguyên trên đồ thị: với x nguyên, y=1-2/(x+1) nguyên khi x+1∈{±1;±2}, tức x∈{0;-2;1;-3}, cho 4 điểm (0;-1),(1;0),(-2;3),(-3;2). Không có 3 điểm nào thẳng hàng (kiểm tra từng bộ ba), nên số đường thẳng qua 2 trong 4 điểm là C(4,2)=6.
d) Đúng: f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, hàm số không có cực trị. Khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với a=-1, f(x)=1-2/(x+1) có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=1, giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng I(-1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên [0;3] nên max f(x)=f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm nguyên: (0;-1),(1,0),(-2;3),(-3;2); không có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng là C(4,2)=6.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng và không có điểm cực trị.