Bài 2. (4,0 điểm) Một công xưởng cần nhập 30 tấn nguyên liệu mỗi tháng để phục vụ sản xuất, chi phí nguyên liệu bao gồm giá nguyên liệu, phí vận chuyển và tiền công xếp dỡ hàng.
- Giá nguyên liệu được hợp đồng với nhà cung cấp như sau: nếu mỗi lần mua không quá 5 tấn thì đơn giá là 4 triệu đồng/tấn, nếu mỗi lần mua trên 5 tấn thì đơn giá sẽ tăng lên, cứ thêm 1 tấn thì đơn giá tăng 0,5\%.
- Mỗi lần nhập nguyên liệu xưởng phải chi trả 2 triệu đồng phí vận chuyển. Mỗi tấn nguyên liệu xưởng phải chi trả 150 ngàn đồng tiền công xếp dỡ hàng.
1. Khi xưởng nhập mỗi lần 6 tấn nguyên liệu, tính tổng chi phí nguyên liệu trong tháng đó.
2. Hãy lập kế hoạch nhập nguyên liệu trong tháng cho xưởng để tổng chi phí nguyên liệu thấp nhất đồng thời đảm bảo mỗi lần nhập với khối lượng như nhau.

Lời giải.

1. Khi xưởng nhập mỗi lần 6 tấn nguyên liệu, xưởng phải nhập 5 lần trong tháng.
- Giá nguyên liệu mỗi tấn là: $4\cdot [1+(6-5)\cdot 0,5\%]=4,02$ triệu đồng.
- Số tiền mua nguyên liệu là $30\cdot 4,02=120,6$ triệu đồng.
- Tiền vận chuyển là $5\cdot 2=10$ triệu đồng.
- Tiền công xếp dỡ là $30\cdot 0,15=4,5$ triệu đồng.

Tổng chi phí nhập nguyên liệu: $120,6+10+4,5=135,1$ triệu đồng.

2. Gọi $x$ là số lần nhập nguyên liệu trong tháng, $x$ là số nguyên dương.
Khối lượng mỗi lần nhập là $\frac{30}{x}$ tấn.

Trường hợp 1: Nếu $\frac{30}{x}\le 5\Rightarrow x\ge 6$ thì chi phí nguyên liệu
- Tiền mua nguyên liệu: $30\cdot 4=120$ triệu đồng.
- Tiền vận chuyển: $2x$ triệu đồng.
- Tiền công xếp dỡ: $0,15\cdot 30=4,5$ triệu đồng.

Tổng chi phí là $f(x)=124,5+2x$.
Do $x\ge 6\Rightarrow f(x)=124,5+2x\ge 136,5$ triệu đồng.

Trường hợp 2: Nếu $\frac{30}{x}>5\Rightarrow x<6$ thì chi phí nguyên liệu
- Giá nguyên liệu $4\cdot \left[1+\left(\frac{30}{x}-5\right)\cdot 0,5\%\right]=3,9+\frac{0,6}{x}$ triệu đồng.
- Tiền mua nguyên liệu $30\cdot \left(3,9+\frac{0,6}{x}\right)=117+\frac{18}{x}$ triệu đồng.
- Tiền vận chuyển: $2x$ triệu đồng.
- Tiền công xếp dỡ: $0,15\cdot 30=4,5$ triệu đồng.

Tổng chi phí $f(x)=\frac{18}{x}+2x+121,5$ triệu đồng.

Ta có $f(x)\stackrel{AM-GM}{\ge }2\sqrt{\frac{18}{x}\cdot 2x}+121,5=133,5$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$$\frac{18}{x}=2x\iff x^2=9\Rightarrow x=3\text{ (do }x>0).$$

Suy ra $\underset{(0;6)}{\min }f(x)=133,5$ khi $x=3$.

Vậy cần nhập nguyên liệu 3 lần mỗi tháng, một lần nhập 10 tấn. Khi đó, chi phí nguyên liệu là thấp nhất và bằng 133,5 triệu đồng.

Bình luận.

1. Ý này chỉ yêu cầu tính tổng chi phí khi đã biết khối lượng nhập nguyên liệu mỗi lần. Nội dung chủ yếu là thay số vào các công thức đã cho và thực hiện các phép tính trực tiếp, do đó mức độ tư duy cần thiết không lớn.

2. Bài toán đặt ra yêu cầu tối ưu hóa chi phí nhập nguyên liệu. Tuy nhiên cấu trúc bài toán vẫn tương đối quen thuộc, chủ yếu dựa trên việc thiết lập biểu thức chi phí theo số lần nhập và xem xét các trường hợp đơn giản. Mức độ khai thác các ý tưởng tối ưu hóa chưa thật sự sâu.