Bài 4. (3,0 điểm)
1. Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu có khối lượng và kích thước bằng nhau gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn 3 quả cầu sao cho trong 3 quả được chọn có ít nhất 1 quả màu đỏ?
2. Trong một trò chơi điện tử, nhà phát triển lập trình nhân vật $M$ chỉ di chuyển trong mặt phẳng $Oxy$ đến những điểm có tọa độ $(x;y)$ với $x$ và $y$ là các số nguyên. Những điểm đó gọi là điểm có tọa độ nguyên.
- “Vùng an toàn” là những điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật $ABCD$ (kể cả những điểm trên cạnh của hình chữ nhật) với $A(-3;-2)$, $B(4;-2)$ và $C(4;7)$.
- “Vùng tặng thưởng” là những điểm có tọa độ nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $|x|+|y|>4$. Nhân vật được tặng thưởng khi di chuyển vào “vùng tặng thưởng”.
Nhân vật $M$ đang di chuyển tự do trong “vùng an toàn”, tính xác suất để nhân vật được tặng thưởng.

Lời giải.

1. Tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 9 quả là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$.
Số cách chọn 3 quả cầu không có quả đỏ (chỉ chọn từ 4 xanh và 2 vàng) là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$.
Do đó số cách chọn 3 quả cầu có ít nhất 1 quả đỏ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=84-20=64$.
Vậy có 64 cách.

2. Gọi $A$ là biến cố nhân vật được tặng thưởng.
Gọi $(x_0,y_0)$ là điểm có tọa độ nguyên trong hình chữ nhật $ABCD$. Khi đó ta có $-3\le x_0\le 4$ và $-2\le y_0\le 7$.
Do đó, số cách chọn điểm có tọa độ nguyên trong hình chữ nhật $ABCD$ là $n(\omega )=8\cdot 10=80$.

Giờ ta sẽ đếm số các điểm có tọa độ nguyên thoả mãn $|x|+|y|\le 4$. Xét 1 điểm có tọa độ $A(x_0,y_0)$ thoả mãn $|x|+|y|\le 4$.

Trường hợp 1: $y_0=-2$ suy ra $|x_0|\le 2$ nên $x_0$ có 5 cách chọn.
Trường hợp 2: $y_0=-1$ suy ra $|x_0|\le 3$ nên $x_0$ có 7 cách chọn.
Trường hợp 3: $y_0=0$ suy ra $|x_0|\le 4$ nên $x_0$ có 8 cách chọn (do $x_0\ge -3$).
Trường hợp 4: $y_0=1$ suy ra $|x_0|\le 3$ nên $x_0$ có 7 cách chọn.
Trường hợp 5: $y_0=2$ suy ra $|x_0|\le 2$ nên $x_0$ có 5 cách chọn.
Trường hợp 6: $y_0=3$ suy ra $|x_0|\le 1$ nên $x_0$ có 3 cách chọn.
Trường hợp 7: $y_0=4$ suy ra $|x_0|\le 0$ nên $x_0$ có 1 cách chọn.

Vậy $n(\overline{A})=5+7+8+7+5+3+1=36$ nên ta có $P(\overline{A})=\frac{36}{80}=\frac{9}{20}$.
Từ đó ta tính được $P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{11}{20}$.
Vậy xác suất nhân vật M được tặng thưởng là $\frac{11}{20}$.

Bình luận.

1. Bài toán tổ hợp được xây dựng trên tình huống lựa chọn phần tử từ một tập hợp hữu hạn. Nội dung chủ yếu kiểm tra khả năng phân tích điều kiện và vận dụng các khái niệm tổ hợp cơ bản.

2. Câu hỏi kết hợp xác suất với hình học tọa độ nhằm tăng tính đa dạng về nội dung. Tuy nhiên cách đặt vấn đề vẫn khá trực tiếp và chủ yếu yêu cầu xử lý các điều kiện đã cho.