Bài 3. (4,0 điểm)

1. Mực nước tại một trạm quan trắc A nào đó trên sông trong một ngày được mô hình hóa bằng hàm số $h=h(t)=4-1,5\sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với $h$ là độ cao mực nước tính bằng mét $(m)$, $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ, $0\le t<24$.
a) Tính độ cao mực nước lúc 6 giờ.
b) Tại thời điểm nào trong ngày mực nước đạt độ cao $3,25m$?
2. Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2(2x-1)$.
a) Tính $f\left(\frac{17}{2}\right)$.
b) Giải bất phương trình $f(x)\le 3$.

Lời giải.

1. a) Thay $t=6$ vào hàm $h(t)$ ta được

$$h(6)=4-1,5\sin \left(\frac{\pi }{12}\cdot 6\right)=4-1,5\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=4-1,5\cdot 1=2,5m.$$

Vậy độ cao của mực nước lúc 6 giờ là $2,5$ m.

b) Do mực nước đạt độ cao $3,25$ m nên

$$h(t)=3,25\iff 4-1,5\sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)=3,25$$

$$\iff 1,5\sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)=0,75$$

$$\iff \sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\frac{1}{2}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{12}t=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=2+24k\\ t=10+24k\end{array},(k\in \mathbb{Z}).$$

Do $0\le t\le 24$ nên $t=2$ hoặc $t=10$.

Vậy trong vòng 1 ngày mực nước đạt độ cao $3,25$ mét lúc 2 giờ và 10 giờ.

2. a) Ta có

$$f\left(\frac{17}{2}\right)={\log }_2\left(2\cdot \frac{17}{2}-1\right)={\log }_2(16)=4.$$

b) Ta có

$$f(x)\le 3\iff {\log }_2(2x-1)\le 3$$

$$\iff 0<2x-1\le 2^3$$

$$\iff \frac{1}{2}<x\le \frac{2^3+1}{2}$$

$$\iff \frac{1}{2}<x\le \frac{9}{2}.$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(\frac{1}{2},\frac{9}{2}\right]$.

Bình luận.

1. a) Việc tính độ cao mực nước tại một thời điểm cụ thể chỉ cần thay giá trị của $t$ vào biểu thức của hàm số. Đây là thao tác trực tiếp, mang tính tính toán thuần túy và không đòi hỏi khả năng suy luận hay tư duy.

b) Bài toán yêu cầu tìm thời điểm mực nước đạt một giá trị cho trước bằng cách giải phương trình lượng giác. Nội dung này tương đối quen thuộc trong chương trình học và cách giải chủ yếu dựa trên các công thức lượng giác cơ bản.

2. a) Việc tính giá trị của hàm logarit tại một điểm cụ thể cũng chỉ là thay số và biến đổi đơn giản. Ý này khá ngắn, đơn giản và không đặt ra yêu cầu tư duy cao.

b) Bất phương trình logarit được giải bằng cách xét điều kiện xác định và biến đổi về dạng đại số quen thuộc. Đây là dạng bài thường gặp nên chưa tạo được độ khó đáng kể.