Bài 5. (3,0 điểm)

Cho khối lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2.
1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$.

Lời giải.



1. Diện tích tam giác đều $ABC$ là

$$S_{ABC}=A{B}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

$$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2. Ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ mà $BC\subset (A^{\prime }BC)$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (A^{\prime }BC)$. Suy ra

$$d(B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }B)=d(B^{\prime }{C}^{\prime },(A^{\prime }BC))=d(B^{\prime },(A^{\prime }BC)).$$

Do $A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B=I$, với $I$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ nên

$$d(A,(A^{\prime }BC))=d(B^{\prime },(A^{\prime }BC)).$$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $AH\perp A^{\prime }M$ tại $H$. Do $BC\perp AM$ ($△ABC$ đều) và $BC\perp A{A}^{\prime }$ (do $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$) nên $BC\perp (A{A}^{\prime }M)$, dẫn đến $BC\perp AH$ (do $AH\subset (A{A}^{\prime }M)$). Mà $AH\perp A^{\prime }M$ nên $AH\perp (A^{\prime }BC)$. Điều này có nghĩa là

$$d(A,(A^{\prime }BC))=AH=\frac{A{A}^{\prime }\cdot AM}{\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{M}^2}}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ là $\frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Bình luận.

1. Bài toán hình học không gian trong khối lăng trụ đều, khai thác các khái niệm cơ bản của chương trình hình học không gian. Cách xây dựng bài toán mang tính truyền thống.

2. Phần tiếp theo tiếp tục khai thác các quan hệ hình học trong không gian. Cấu trúc bài toán khá quen thuộc với các dạng bài thường gặp trong chương trình học, nên mức độ sáng tạo của câu hỏi chưa thật sự nổi bật. Nhìn chung, nội dung vẫn thiên về việc kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức cơ bản.