Bất phương trình $\frac{x-1}{x+1}\ge m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;2]$ khi và chỉ khi

Xét hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ trên đoạn $[1;2]$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\in [1;2]$, nên hàm số đồng biến trên $[1;2]$.
Ta có $f(1)=0,f(2)=\frac{1}{3}$, suy ra tập giá trị của $f(x)$ trên $[1;2]$ là $[0;\frac{1}{3}]$.
Bất phương trình $f(x)\ge m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;2]$ khi và chỉ khi $m\le {\max }_{[1;2]}f(x)=\frac{1}{3}$.