Biết đồ thị hàm số $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$ và đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ $(b>0,b\ne 1)$ cắt nhau tại điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2$.