Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các đỉnh $A^{\prime }(3;5;-6),C^{\prime }(4;5;-5),B(2;1;2),D(1;-1;1)$. Tìm tọa độ đỉnh $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $ABCD$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, tức $C-A=(B-A)+(D-A)$, suy ra $A+C=B+D$ (1).
Mặt khác $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $A^{\prime }-A=C^{\prime }-C$, suy ra $C=C^{\prime }-A^{\prime }+A$. Thay vào (1):
$A+(C^{\prime }-A^{\prime }+A)=B+D\Rightarrow 2A=B+D+A^{\prime }-C^{\prime }$.
Tính: $B+D=(2+1;1+(-1);2+1)=(3;0;3)$; $A^{\prime }-C^{\prime }=(3-4;5-5;-6-(-5))=(-1;0;-1)$.
Vậy $2A=(3-1;0;3-1)=(2;0;2)\Rightarrow A(1;0;1)$.
Thử lại: $C=B+D-A=(3;0;3)-(1;0;1)=(2;0;2)$, khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;5;-7)$ và $C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;5;-5)=C^{\prime }$ đúng. Chọn C.