Biết tồn tại số thực $a=a_0$ sao cho $P=P_0$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức:

$${\left(9{\sin }^{2}a-6\sin a\right)}^2-(11+2P)\left(9{\sin }^{2}a-6\sin a\right)+P^2+11P-80=0.$$

Tính giá trị của biểu thức $M=\left(2P_0+8\right).{\tan }^2{a}_0+9P_0.{\cos }^2{a}_0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=9{\sin }^{2}a-6\sin a=9{\left(\sin a-\frac{1}{3}\right)}^2-1$. Vì $\sin a\in [-1;1]$ nên $t\in [-1;12]$.

Phương trình trở thành $t^2-(11+2P)t+P^2+11P-80=0$ với ẩn $t$. Biệt thức: $(11+2P{)}^2-4(P^2+11P-80)=441$, nên $t=\frac{11+2P\pm 21}{2}$, tức $t=P+16$ hoặc $t=P-5$.

- Nếu $t=P+16$ thì $P=t-16\in [-17;-4]<0$: loại vì $P>0$.
- Nếu $t=P-5$ thì $P=t+5\in [4;17]$, giá trị dương nhỏ nhất $P_0=4$ khi $t=-1$, tức $\sin a_0=\frac{1}{3}$.

Khi đó ${\cos }^2{a}_0=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, ${\tan }^2{a}_0=\frac{1/9}{8/9}=\frac{1}{8}$.

$$M=(2\cdot 4+8)\cdot \frac{1}{8}+9\cdot 4\cdot \frac{8}{9}=16\cdot \frac{1}{8}+36\cdot \frac{8}{9}=2+32=34.$$

Kết quả khớp với đáp số 34 của nguồn.