Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước với độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đó và phụ thuộc thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ $\varphi$ và ngày thứ $N$ trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ còn được tính theo công thức sau:

$$\alpha =90^{\circ }-\varphi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{\circ }\right)\right|.23,5^{\circ }.$$

Trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172$; $m=1$ nếu $173\le N\le 355$, $m=2$ nếu $356\le N\le 365$.

Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ $\varphi =20^{\circ }$ là $a^{\circ }$ (Công thức tính toán nói trên chính xác tới $\pm 0,5^{\circ }$). Tính giá trị của biểu thức $P=\tan a+\cot a$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).