Các số $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x-y\ge -1\\ 2x+y\le 6\\ x+3y\ge 3\end{array}(\ast ).$$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $f(x;y)=2x-3y+1$

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (*) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- $3x-y=-1$ và $2x+y=6$: cộng hai phương trình được $5x=5\Rightarrow x=1,y=4$, điểm $A(1;4)$, thỏa $x+3y=13\ge 3$.
- $2x+y=6$ và $x+3y=3$: từ $x=3-3y$ thay vào được $6-5y=6\Rightarrow y=0,x=3$, điểm $B(3;0)$, thỏa $3x-y=9\ge -1$.
- $3x-y=-1$ và $x+3y=3$: từ $y=3x+1$ thay vào được $10x+3=3\Rightarrow x=0,y=1$, điểm $C(0;1)$, thỏa $2x+y=1\le 6$.

Vì $f(x;y)=2x-3y+1$ là hàm tuyến tính nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt tại đỉnh của miền tam giác:
- $f(A)=f(1;4)=2-12+1=-9$.
- $f(B)=f(3;0)=6-0+1=7$.
- $f(C)=f(0;1)=0-3+1=-2$.

Vậy $\max f=f(3;0)=7$ và $\min f=f(1;4)=-9$.