Câu 1. (3,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}.$$

LỜI GIẢI (tham khảo, SMFE - Bản luận toán học số 12):
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được
$$P=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^{2}bc}⩾\frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}.$$
Mặt khác, ta lại có
$$1=(a^2+b^2+c^2{)}^2⩾3(a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2)⩾3abc(a+b+c)⟹abc(a+b+c)⩽\frac{1}{3}.$$
Do đó $P⩾\frac{3}{5}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$.