Câu 6. (5,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng đi qua $D$ vuông góc $IA$, cắt $IB,IC$ lần lượt tại $P,Q$.
a) Chứng minh các điểm $B,P,C,Q$ cùng thuộc một đường tròn $(\omega )$.
b) Gọi $K$ là tâm đường tròn $(\omega )$. Chứng minh ba điểm $K,A,D$ thẳng hàng.

LỜI GIẢI (tham khảo, SMFE - Bản luận toán học số 12):
Xét thế hình như hình vẽ.

a) Gọi $E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $AC,AB$. $AI$ cắt $DE$ tại $G$. Theo bổ đề Iran, ta có $AG\perp BG$ hay $\angle IGD+\angle IBD=180^{\circ }$. Mặt khác, dễ thấy $G$ là trực tâm của tam giác $IDQ$ nên
$$\angle IGD+\angle IQD=180^{\circ }⟺\angle IBD=\angle IQD⟺\angle PBC=\angle PQC.$$
Do đó bốn điểm $P,B,Q,C$ cùng thuộc đường tròn $(\omega )$.

b) Gọi $BQ$ cắt $CP$ tại $L$, $EF$ cắt $BC$ tại $S$. Khi đó $LI$ là đối cực của $D$ với $(K)$. Mặt khác, ta có $(SD,BC)=-1$ nên ta suy ra $S,D$ liên hợp với $(K)$. Do đó $S,L,I$ thẳng hàng. Mặt khác ta có $SI\perp AD$ và $DK\perp IL$ nên ta suy ra ba điểm $K,A,D$ thẳng hàng.