Câu 4. (3,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n={\left(4-\sqrt{15}\right)}^n+{\left(4+\sqrt{15}\right)}^n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho 2 và $A=u_1^2+u_2^2+\dots +u_{2025}^2$ chia hết cho 8.

LỜI GIẢI (tham khảo, SMFE - Bản luận toán học số 12):
Ta thấy rằng $4\pm \sqrt{15}$ là các nghiệm của phương trình
$$x^2-8x+1=0$$
nên ta có thể suy ra dãy $(u_n)$ được xác định như sau
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=8,u_2=62\\ u_{n+2}=8u_{n+1}-u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}.$$
Từ đây, ta thấy $u_n\in \mathbb{Z}$ với mọi $n$ và $u_{n+2}\equiv -u_n(\mathrm{mod}8)$. Do $u_1\equiv 0(\mathrm{mod}8)$ và $u_2\equiv 6(\mathrm{mod}8)$ nên ta suy ra
$$\{\begin{array}{l}{u}_{2n}\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ u_{2n-1}\equiv 0(\mathrm{mod}8)\end{array},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Do đó $u_n$ chia hết cho 2 với mọi $n$ và
$$A\equiv 1012\cdot 0+1013\cdot 4\equiv 0(\mathrm{mod}8).$$