Câu 1 (3,50 điểm):
a) Giải phương trình $\cos x(\sin x+\cos x-\sin 3x)=\sin x\sin 3x$.
b) Cho dãy số hữu hạn $u_n={\log }_{2025}\left(\frac{2025n}{2025-n}\right)$, với $n\in \{1;2;3;...;2024\}$. Hãy tính tổng tất cả các số hạng của dãy số trên.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chuyển vế: $\cos x\sin x+{\cos }^{2}x-\sin 3x(\cos x+\sin x)=0$. Vì $\cos x\sin x+{\cos }^{2}x=\cos x(\sin x+\cos x)$, phương trình trở thành $(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin 3x)=0$.
• Trường hợp 1: $\sin x+\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.
• Trường hợp 2: $\cos x=\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, do đó:
- $3x=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$;
- $3x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Kiểm tra: các họ nghiệm này không trùng nhau và thỏa mãn phương trình gốc.

b) Với $n\in \{1,\dots ,2024\}$, ghép cặp $n$ với $2025-n$:
$$u_n+u_{2025-n}={\log }_{2025}\left(\frac{2025n}{2025-n}\cdot \frac{2025(2025-n)}{n}\right)={\log }_{2025}(2025^2)=2.$$
Có $\frac{2024}{2}=1012$ cặp như vậy, nên tổng tất cả số hạng là $1012\cdot 2=2024$.