Câu 4 (3,00 điểm):
a) Một lớp học có $(2n+3)$ học sinh (với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), trong đó có ba em $A,B,C$. Xếp ngẫu nhiên các học sinh của lớp học vào ngồi một dãy ghế có đánh số thứ tự từ 1 đến $(2n+3)$, mỗi em ngồi một ghế. Biết xác suất để số ghế của ba em $A,B,C$ theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng là $\frac{17}{1155}$. Tìm số học sinh của lớp học.
b) Có 35 con thỏ (bao gồm thỏ trắng và thỏ đen) được nhốt vào hai chuồng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng một con thỏ. Biết xác suất để bắt được hai con thỏ đen là $\frac{247}{300}$, hãy tính xác suất để bắt được hai con thỏ trắng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng số cách xếp ghế cho A, B, C: (2n+1)(2n+2)(2n+3). Số ghế của A, B, C theo thứ tự đó lập cấp số cộng với công sai d ≠ 0 (d nguyên). Với d > 0: bộ (a, a+d, a+2d), a ≤ 2n+3−2d, d ≤ n+1, số bộ = Σ_{d=1}^{n+1}(2n+3−2d) = (n+1)². Với d < 0 cũng có (n+1)² bộ (đối xứng). Vậy số kết quả thuận = 2(n+1)². Xác suất: 2(n+1)²/[(2n+1)(2n+2)(2n+3)] = 17/1155. Thử n = 16: 2·17²/(33·34·35) = 578/39270 = 289/19635 = 17/1155 (vì 19635 = 17·1155). Phương trình tương đương 1155(n+1) = 17(2n+1)(2n+3) cho nghiệm nguyên duy nhất n = 16 (kiểm tra các n lân cận không thỏa). Vậy lớp có 2·16+3 = 35 học sinh. b) Gọi hai chuồng có a và 35−a con, trong đó có b₁, b₂ con đen. Xác suất bắt được hai con đen: b₁b₂/[a(35−a)] = 247/300, với 247/250 tối giản (247 = 13·19, gcd(247,300)=1). Trong các tích a(35−a) với a = 1..17, chỉ có 15·20 = 300 chia hết cho 300 (các giá trị khác: 150, 156, 168, 204, 234, 238, 246... đều không thỏa mãn đồng thời điều kiện b₁b₂ = 247·a(35−a)/300 nguyên và b₁ ≤ a, b₂ ≤ 35−a; chỉ a(35−a)=300 cho b₁b₂ = 247 = 13·19 với 13 ≤ 15, 19 ≤ 20). Vậy chuồng có 15 và 20 con; số thỏ đen là 13 và 19, số thỏ trắng là 2 và 1. Xác suất bắt được hai con thỏ trắng: (2/15)·(1/20) = 2/300 = 1/150.