Câu 2 (3,50 điểm):
a) Cho hàm số $y=2(1+m)x^3-3(m+1)x^2+x+\frac{m}{2}-1$ (1), (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng với mọi $m$.
b) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn:
$$e^{x-3y}+e^{1-xy}+x(1-y)+1=e^{xy-1}+\frac{1}{e^{x-3y}}+3y,\text{(với }x\ge 0).$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x-2y+3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Viết lại: $y=m\left(2x^3-3x^2+\frac{1}{2}\right)+\left(2x^3-3x^2+x-1\right)$. Với $x$ thỏa $2x^3-3x^2+\frac{1}{2}=0$, tức $\frac{1}{2}(2x-1)(2x^2-2x-1)=0$, ta được 3 nghiệm phân biệt $x=\frac{1}{2},x=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$, và khi đó $y=2x^3-3x^2+x-1=-\frac{1}{2}+x-1=x-\frac{3}{2}$ với mọi $m$. Vậy đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định $\left(\frac{1}{2},-1\right),\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}-2}{2}\right),\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{-\sqrt{3}-2}{2}\right)$, cùng nằm trên đường thẳng $y=x-\frac{3}{2}$ nên thẳng hàng.

b) Đặt $a=x-3y,b=1-xy$. Phương trình trở thành $e^a+e^b+x(1-y)+1=e^{-b}+e^{-a}+3y$. Chuyển vế, chú ý $x(1-y)+1-3y=x-xy+1-3y=a+b$, nên $(e^a-e^{-a}+a)+(e^b-e^{-b}+b)=0$. Đặt $f(t)=e^t-e^{-t}+t$: hàm lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ (vì $f^{\prime }(t)=e^t+e^{-t}+1>0$). Từ $f(a)+f(b)=0\iff f(a)=f(-b)\iff a=-b$, tức $x-3y=xy-1\Rightarrow x=\frac{3y-1}{1-y}$. Điều kiện $x\ge 0$ cho $\frac{1}{3}\le y<1$. Đặt $t=1-y\in (0,\frac{2}{3}]$, khi đó $x=\frac{2}{t}-3$ và $T=x-2y+3=\frac{2}{t}+2t-2$. Hàm $g(t)=\frac{2}{t}+2t-2$ có $g^{\prime }(t)=2-\frac{2}{t^2}<0$ trên $(0,\frac{2}{3}]$ nên giảm dần; $\min T=g\left(\frac{2}{3}\right)=3+\frac{4}{3}-2=\frac{7}{3}$, đạt tại $t=\frac{2}{3}$ tức $x=0,y=\frac{1}{3}$ (thỏa $x\ge 0$). Vậy $\min T=\frac{7}{3}$.