Câu 1 (4,0 điểm).
1) Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{m}{2}{x}^2-\left(3m^2-1\right)x+m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4=0$.
2) Hai con tàu $A$ và $B$ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu $A$ chạy về hướng Nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu $B$ chạy về vị trí hiện tại của tàu $A$ với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

1) Ta có: $y^{\prime }=x^2-mx-3m^2+1$.
Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{m}{2}{x}^2-\left(3m^2-1\right)x+m$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ $\iff m^2-4\left(-3m^2+1\right)>0\iff 13m^2-4>0$ (*).
Theo định lí Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=-3m^2+1\end{array}$.
Do đó $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4=0$ $\iff -3m^2+1+2m+4=0\iff -3m^2+2m+5=0\iff \{\begin{array}{l}m=-1\\ m=\frac{5}{3}\end{array}$.
Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị của $m$ cần tìm là $m=-1;m=\frac{5}{3}$.

2) Gọi $d$ là khoảng cách giữa hai tàu sau khi xuất phát $t$ giờ, $t>0$. Khi đó tàu $A$ đang ở vị trí $A_1$ và tàu $B$ đang ở vị trí $B_1$ như hình vẽ sau
Quãng đường tàu $A$ đi được là $A{A}_1=v_A\cdot t=6t$.
Quãng đường tàu $B$ đi được là $B{B}_1=v_B\cdot t=7t$.
Ta có $d^2=A{B}_1^2+A{A}_1^2={\left(5-B{B}_1\right)}^2+A{A}_1^2=(5-7t{)}^2+(6t{)}^2$, $0<t\le \frac{5}{7}$.
Vậy $d=\sqrt{85t^2-70t+25}$, $0<t\le \frac{5}{7}$.
Đặt $f(t)=\sqrt{85t^2-70t+25}$ (với $0<t\le \frac{5}{7}$).
Bài toán trở thành tìm $\underset{\left(0;\frac{5}{7}\right]}{\min }f(t)$.
Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{170t-70}{2\sqrt{85t^2-70t+25}}$, $f^{\prime }(t)=0\iff t=\frac{7}{17}$.
Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;\frac{5}{7}\right]}{\min }f(t)=f\left(\frac{7}{17}\right)=\frac{6\sqrt{85}}{17}\approx 3,524$ (hải lí).
Vậy $t=\frac{7}{17}h\approx 25$ phút.