Câu 3 (3,0 điểm).
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
2) Trong một đề thi trắc nghiệm môn Toán có loại câu hỏi trả lời Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có 4 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm cho mỗi câu hỏi như sau:
• Học sinh chọn chính xác 01 ý được 0,1 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 02 ý được 0,25 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 03 ý được 0,5 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 04 ý được 1,0 điểm.
Giả sử một thí sinh làm bài bằng cách chọn phương án ngẫu nhiên để trả lời cho 2 câu hỏi loại Đúng/Sai này. Tính xác suất để học sinh đó được 0,5 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi này.

1) (1,5 điểm)
Gọi số đó là $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$. Từ giả thiết suy ra $A$ có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ lấy từ $\{1;3;5;7;9\}$.

Trường hợp 1: $A$ có 1 chữ số lẻ.
+) $a_1$ lẻ: Số các số A là $C_5^1{P}_5=600$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Số các số A là $4.(C_5^1{C}_4^4)P_5=2400$
Tổng có: $600+2400=3000$ số các số $A$ trong đó có đúng một chữ số lẻ.

Trường hợp 2: $A$ có 2 chữ số lẻ.
+) $a_1$ lẻ: Có 5 cách chọn $a_1$. Có 5 cách chọn $a_2$ chẵn.
Vậy số các số A là $\mathrm{5.5.}(C_4^1{C}_4^3)P_4=9600$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong $a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$. Vậy số các số A là $4.(C_5^2.6.P_2).A_4^3=11520$
Tổng có: $9600+11520=21120$ số các số $A$.

Trường hợp 3: $A$ có 3 chữ số lẻ.
+) $a_1$ lẻ: Có 5 cách chọn $a_1$. Có 5 cách chọn $a_2$. Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong $a_3{a}_4{a}_5{a}_6$. Vậy số các số $A$ là $\mathrm{5.5.}(C_4^2.3.P_2).A_4^2=10800$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong $a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$. Vậy số các số A là: $4.(C_5^3.1.P_3).A_4^2=2880$.
Tổng có: $10800+2880=13680$ số các số A.

Vậy có: $3000+21120+13680=37800$ số các số A.

2) (1,5 điểm)
Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=2^8=256$.

Để đạt 0,5 điểm sẽ có các trường hợp sau xảy ra:

Trường hợp 1. Mỗi câu hỏi học sinh trả lời đúng 2 ý và sai 2 ý, khi đó số điểm đạt được mỗi câu hỏi là 0,25 điểm.

Trường hợp 2. Một câu hỏi trong hai câu học sinh trả lời đúng 3 ý, sai 1 ý, câu hỏi còn lại trong hai câu đó học sinh trả lời sai cả 4 ý.

Gọi A là biến cố học sinh đó được 0,5 điểm. Khi đó
$$n(A)=C_4^2.C_4^2+2C_4^3.C_4^4=44.$$
Vậy xác suất để học sinh đó được 0,5 điểm là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{44}{256}=\frac{11}{64}$.