Câu 2 (3,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\sqrt{4xy+x+3}=x+4y-1\\ {\log }_{3}x+{\log }_3\left(x-y\right)+1={\log }_3\left(4y\right)+{\log }_3\left(2x+y\right)\end{array}.$$
2) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{a}_1=20;a_2=24\\ n{a}_{n+2}=\left(3n+2\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\end{array}\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right).$$
Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

1) Điều kiện $\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x-y>0\\ 2x+y>0\\ 4xy+x+3\ge 0\end{array}$ (*).
${\log }_{3}x+{\log }_3(x-y)+1={\log }_3(4y)+{\log }_3(2x+y)$ (1)
$\iff {\log }_3[3x(x-y)]={\log }_3[4y(2x+y)]$
$\iff 3x(x-y)=4y(2x+y)$
$\iff 3x^2-11xy-4y^2=0$
$\iff (3x+y)(x-4y)=0$
$\iff \left[\begin{array}{c}y=-3x\\ x=4y\end{array}\right]$
Xét phương trình $\sqrt{4xy+x+3}=x+4y-1$ (2).
Với $y=-3x$, (2) trở thành $\sqrt{-12x^2+x+3}=-11x-1$ (3). Theo điều kiện trên, $x>0$ nên phương trình (3) vô nghiệm.
Với $x=4y$, (2) trở thành
$$\sqrt{x^2+x+3}=2x-1\iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 3x^2-5x-2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ \left[\begin{array}{c}x=-\frac{1}{3}\\ x=2\end{array}\right]\end{array}\iff x=2$$
Kết hợp với điều kiện (*), suy ra hệ phương trình có duy nhất một nghiệm là $(x;y)=\left(2;\frac{1}{2}\right)$.

2) Từ hệ thức truy hồi ta suy ra
$$n{a}_{n+2}=(3n+2)a_{n+1}-2(n+1)a_n$$
$$\iff n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=2(n+1)\left(a_{n+1}-a_n\right)$$
$$\iff \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=2.\frac{a_{n+1}-a_n}{n}.$$
Đặt $b_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{n}$, ta được $b_{n+1}=2b_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Suy ra $\left(b_n\right)$ là một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Do đó $b_n=b_1.2^{n-1}=2^{n+1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n.2^{n+1}\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{1}{2}.\frac{a_n}{2^n}=n$
$$\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\left[2(n+1)-4\right]=\frac{1}{2}.\left[\frac{a_n}{2^n}-(2n-4)\right].$$
Đặt $c_n=\frac{a_n}{2^n}-(2n-4)\Rightarrow c_{n+1}=\frac{1}{2}{c}_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, do đó $\left(c_n\right)$ là một cấp số nhân có công bội bằng $\frac{1}{2}$
$$\Rightarrow c_n=c_1.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{24}{2^n}\Rightarrow a_n=(2n-4)2^n+24\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{(2n-2)2^{n+1}+24}{(2n-4)2^n+24}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{24}{(2n-2)2^n}}{\frac{2n-4}{2n-2}+\frac{24}{(2n-2)2^n}}=2$.