Câu 1. (6,00 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\sqrt{x^2+m}=2x-1$ có nghiệm duy nhất.
2. Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+yz=6\\ x^3+y^{2}z=12\\ x^4+y^{3}z=24\end{array}.$$

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1.1.** Điều kiện: $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$. Bình phương: $x^2+m=4x^2-4x+1\iff m=3x^2-4x+1=f(x)$ với $x\ge \frac{1}{2}$.
$f^{\prime }(x)=6x-4=0\iff x=\frac{2}{3}$; $f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$, $f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{3}$, $f\to +\infty$ khi $x\to +\infty$.
Trên $[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$: $f$ giảm từ $-\frac{1}{4}$ đến $-\frac{1}{3}$; trên $[\frac{2}{3},+\infty )$: $f$ tăng từ $-\frac{1}{3}$ đến $+\infty$.
Suy ra số nghiệm: $m<-\frac{1}{3}$: vô nghiệm; $m=-\frac{1}{3}$: nghiệm duy nhất $x=\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{3}<m<-\frac{1}{4}$: hai nghiệm; $m=-\frac{1}{4}$: nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$; $m>-\frac{1}{4}$: nghiệm duy nhất (nhánh tăng).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m=-\frac{1}{3}$ hoặc $m\ge -\frac{1}{4}$, tức $m\in \{-\frac{1}{3}\}\cup [-\frac{1}{4},+\infty )$.

**Câu 1.2.** Lấy (2) $-x\cdot$(1): $yz(y-x)=12-6x=6(2-x)$. Lấy (3) $-x\cdot$(2): $y^{2}z(y-x)=24-12x=12(2-x)$.

- Nếu $y\ne x$ và $y\ne 0$: chia hai đẳng thức được $y=2$. Khi đó $2z(2-x)=6(2-x)$; nếu $x\ne 2$ thì $z=3$, thay vào (1): $x^2+6=6\Rightarrow x=0$. Kiểm tra: (2): $0+4\cdot 3=12$ ✓; (3): $0+8\cdot 3=24$ ✓. Ta được $(x,y,z)=(0,2,3)$.
- Nếu $x=2$ (gồm cả trường hợp $y=x$): (1): $yz=2$; (2): $y^{2}z=4\Rightarrow y\cdot yz=2y=4\Rightarrow y=2$, suy ra $z=1$. Kiểm tra (3): $16+8=24$ ✓. Ta được $(x,y,z)=(2,2,1)$.
- Nếu $y=0$: (1) cho $x^2=6$, (2) cho $x^3=12$, mâu thuẫn vì $x=\sqrt{6}$ cho $x^3=6\sqrt{6}\ne 12$. Loại.

Vậy hệ có hai nghiệm $(x,y,z)=(0,2,3)$ và $(x,y,z)=(2,2,1)$.