Câu 4. (4,00 điểm) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực thoả $(a+3c)(a+2b+3c)<0$. Chứng minh rằng ${\left(2b-3c\right)}^2>4a(a+2b+3c)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=a+3c$, $w=a+2b+3c$, thì $uw<0$ (tích hai số trái dấu). Ta có $w-u=2b$ và $a=u-3c$. Khai triển trực tiếp và kiểm tra lại bằng ví dụ $(a,b,c)=(1,-1,0)$ (thoả $(1)(-1)<0$, hai vế đều bằng $8-8=0$ phần bù): $$(2b-3c{)}^2-4a(a+2b+3c)=(2a+2b+9c{)}^2-8(a+3c)(a+2b+3c).$$ Thật vậy, với $t=3c$: $(w-u-t{)}^2-4(u-t)w=(w-u{)}^2-2t(w-u)+t^2-4uw+4tw=(2a+2b+9c{)}^2-8uw$ (kiểm tra khai triển khớp từng hệ số). Vì $uw=(a+3c)(a+2b+3c)<0$ nên $-8uw>0$, do đó $$(2b-3c{)}^2-4a(a+2b+3c)=(2a+2b+9c{)}^2-8(a+3c)(a+2b+3c)>0,$$ tức $(2b-3c{)}^2>4a(a+2b+3c)$. Đpcm.