Câu 3. (2,00 điểm) Cho đa thức $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$. Biết $f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}$. Tính $f(16)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Khi đó ${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$ và ${\alpha }^3=(5+2\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$.

Từ $f(\alpha )=\sqrt{2}$:
$$a(11\sqrt{2}+9\sqrt{3})+b(5+2\sqrt{6})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})+d=\sqrt{2}.$$
Vì $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ độc lập tuyến tính trên $\mathbb{Q}$, so sánh hệ số:
- $\sqrt{6}$: $2b=0\Rightarrow b=0$;
- $\sqrt{3}$: $9a+c=0$;
- $\sqrt{2}$: $11a+c=1$;
- phần hữu tỉ: $5b+d=0\Rightarrow d=0$.

Trừ hai phương trình: $2a=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}$, suy ra $c=-\frac{9}{2}$.

Vậy $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{9}{2}x$ và
$$f(16)=\frac{16^3-9\cdot 16}{2}=\frac{4096-144}{2}=\frac{3952}{2}=1976.$$
Kiểm tra: $f(\alpha )=\frac{11\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{2}-\frac{9}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Đúng.