Câu 2. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.

b) Cho $AB=a,SA=a\sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.



Ta có $SA\perp (ABCD),BC\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$ (0,25 điểm)

Mặt khác, $BC\perp AB,SA\cap AB=\{A\}$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$. (0,25 điểm)

b) (0,5 điểm) Cho $AB=a,SA=a\sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Từ $BC\perp (SAB)\Rightarrow$ hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(SAB)$ là $SB$ $\Rightarrow$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ là góc $(SC,SB)=\widehat{CSB}$ (0,25 điểm)

Xét tam giác $SAB$ vuông tại A, có: $S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2=2a^2+a^2=3a^2$ $\Rightarrow SB=a\sqrt{3}$

Xét tam giác $SBC$ vuông tại B, có: $\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{CSB}=30^{\circ }$ (0,25 điểm)

Vậy góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $30^{\circ }$.