Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ thỏa mãn
$$f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbf{R}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P(x,y)$ là mệnh đề $f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y)$, đặt $c=f(0)$.

**Bước 1.** $P(0,y):f(f(0))+f(y)=f(y)\Rightarrow f(c)=0$. $P(x,0):f(f(x))+c=xc+f(x)\Rightarrow f(f(x))=f(x)+c(x-1)$. (1)

**Bước 2. Trường hợp $c\ne 0$:** Từ (1), nếu $f(u)=f(v)$ thì $f(f(u))=f(f(v))\Rightarrow cu+f(u)-c=cv+f(v)-c\Rightarrow u=v$, vậy $f$ đơn ánh. Thay $y=c$ vào phương trình: $f(xc+f(x))+f(c)=xf(c)+f(x+c)\Rightarrow f(xc+f(x))=f(x+c)$. Do đơn ánh: $xc+f(x)=x+c$, tức $f(x)=(1-c)x+c$. Thử dạng $f(x)=ax+b$ vào phương trình: so sánh hệ số thu được $a^2=a+b$ và $b(a+1)=0$. Với $b=c\ne 0$ thì $c=2$, $a=-1$, thỏa $a^2=1=a+b$. Kiểm tra: $f(x)=2-x$ thỏa mãn (đẳng thức $x-xy-y+2$ hai bên). Vậy với $c\ne 0$ chỉ có $f(x)=2-x$.

**Bước 3. Trường hợp $c=0$:** (1) cho $f(f(x))=f(x)$. Viết lại phương trình: $f(xy+f(x))=f(x+y)+(x-1)f(y)$. (2)

- Nếu $f\equiv 0$: thỏa mãn.
- Giả sử tồn tại $a$ với $f(a)\ne 0$. Xét $f(u)=f(v)$: áp dụng (2) với $y=u$ và $y=v$, trừ hai đẳng thức: $f(xu+f(x))-f(xv+f(x))=(x-1)(f(u)-f(v))=0$, kết hợp (2) suy ra $f(x+u)=f(x+v)$ với mọi $x$, tức $f$ có chu kỳ $q=v-u$. Nếu $q\ne 0$: thay $y\to y+q$ trong (2), vế trái thành $f(xy+f(x)+xq)$, vế phải không đổi, nên $f(t+xq)=f(t)$ với mọi $t$ và mọi $x\ne 0$; vì $xq$ chạy khắp $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên $f$ hằng, mâu thuẫn với $f(a)\ne 0$ (vì $f\equiv f(0)=0$). Vậy $q=0$, tức $f$ đơn ánh. Khi đó $f(f(x))=f(x)\Rightarrow f(x)=x$ với mọi $x$. Kiểm tra: $f(x)=x$ thỏa mãn (đẳng thức $xy+x+y$ hai bên).

**Kết luận.** Có đúng ba hàm thỏa mãn: $f(x)\equiv 0$, $f(x)=x$, $f(x)=2-x$ (kiểm tra trực tiếp cả ba đều thỏa).