Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ có đường cao $AD$ và trực tâm $H$. Gọi $J,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,HD$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng $GK\perp AJ$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ trục tọa độ: Gốc D, trục hoành là BC, trục tung là AD. Vì tam giác nhọn nên D nằm giữa B, C và H nằm trên đoạn AD. Đặt $D=(0;0)$, $A=(0;a)$ với $a>0$, $B=(-m;0)$, $C=(n;0)$ với $m,n>0$ (do $AB<AC$ nên $m<n$).

**Tọa độ các điểm:**
- Trực tâm $H$: đường cao từ $B$ vuông góc $AC$ có hệ số góc $n/a$, phương trình $y=\frac{n}{a}(x+m)$; tại $x=0$ được $H=\left(0;\frac{mn}{a}\right)$.
- $K$ trung điểm $HD$: $K=\left(0;\frac{mn}{2a}\right)$.
- $J$ trung điểm $BC$: $J=\left(\frac{n-m}{2};0\right)$.

**Tìm $G=EF\cap BC$:**
Đường thẳng $AB$: $ax-my+am=0$, hình chiếu của $D(0;0)$ lên $AB$:
$$E=\left(\frac{-a^{2}m}{a^2+m^2};\frac{a{m}^2}{a^2+m^2}\right).$$
Đường thẳng $AC$: $ax+ny-an=0$, hình chiếu của $D$ lên $AC$:
$$F=\left(\frac{a^{2}n}{a^2+n^2};\frac{a{n}^2}{a^2+n^2}\right).$$
(Vì $\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^{\circ }$ nên $E,F$ thuộc đường tròn đường kính $AD$.)

Viết phương trình đường thẳng $EF$ và cho $y=0$, tính toán trực tiếp: với $y_E=\frac{a{m}^2}{a^2+m^2}$, $y_F=\frac{a{n}^2}{a^2+n^2}$ ta có
$$y_F-y_E=\frac{a^3(n^2-m^2)}{(a^2+n^2)(a^2+m^2)},x_F-x_E=\frac{a^2(m+n)(a^2+mn)}{(a^2+n^2)(a^2+m^2)}.$$
Hoành độ giao điểm:
$$x_G=xE-\frac{(x_F-x_E)y_E}{y_F-y_E}=\frac{-a^{2}mn-m^{3}n}{(a^2+m^2)(n-m)}=\frac{mn}{m-n}.$$
Vậy $G=\left(\frac{mn}{m-n};0\right)$.

**Kiểm tra $GK\perp AJ$:**
$$\overrightarrow{GK}=\left(-\frac{mn}{m-n};\frac{mn}{2a}\right),\overrightarrow{AJ}=\left(\frac{n-m}{2};-a\right).$$
Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{GK}\cdot \overrightarrow{AJ}=\left(-\frac{mn}{m-n}\right)\cdot \frac{n-m}{2}+\frac{mn}{2a}\cdot (-a)=\frac{mn}{2}-\frac{mn}{2}=0.$$
Vậy $\overrightarrow{GK}\perp \overrightarrow{AJ}$, tức là $GK\perp AJ$. $■$