Câu 5 (4 điểm). Hỏi có bao nhiêu hoán vị $a_1,a_2,\dots ,a_{2026}$ của 2026 số nguyên dương đầu tiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) $a_{i+1}-a_i\le 1$ với mọi $i=1,2,3,\dots ,2025$.

b) Có đúng hai chỉ số $i,j$ với $1\le i<j\le 2026$ sao cho $a_i=i,a_j=j$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bước 1: Phân loại hoán vị thỏa mãn điều kiện a).** Với mỗi $i$, do $a_{i+1}\le a_i+1$ và các giá trị đôi một khác nhau, nếu $a_{i+1}>a_i$ thì bắt buộc $a_{i+1}=a_i+1$. Xét khối chứa giá trị $n=2026$: bước đi vào giá trị $n$ phải từ $n-1$, tương tự $n-1$ phải đứng ngay sau $n-2$ hoặc đứng đầu dãy… Suy ra hoán vị là sự nối tiếp các khối, mỗi khối là các số nguyên liên tiếp tăng dần theo bước $+1$, và các khối xếp theo thứ tự giá trị lớn nhất giảm dần (khi đó bước chuyển giữa hai khối luôn là bước giảm, tự động thỏa mãn). Ngược lại, mọi cách phân tích $n$ thành tổng liên tiếp các khối như vậy đều cho hoán vị hợp lệ. Cụ thể, cho một bộ chỉ số độ dài khối $(l_1,\dots ,l_r)$ với $s_t=l_1+\cdots +l_t$, khối $t$ chiếm các vị trí $s_{t-1}+1,\dots ,s_t$ và chứa các giá trị $n-s_t+1,\dots ,n-s_{t-1}$ theo thứ tự tăng dần.

**Bước 2: Tính điểm cố định.** Tại vị trí $p$ trong khối $t$, giá trị là $n-s_t+p-s_{t-1}$. Hoán vị cố định $a_p=p$ khi và chỉ khi $n=s_t+s_{t-1}$, và khi đó **mọi** vị trí của khối $t$ đều là điểm cố định (phương trình không phụ thuộc $p$). Vậy số điểm cố định bằng $l_t$ nếu $s_{t-1}+s_t=n$, còn bằng $0$ nếu ngược lại.

**Bước 3: Điều kiện b).** Cần đúng 2 điểm cố định nên cần đúng một khối với $l_t=2$ và $s_{t-1}+s_t=2026$, tức $2s_{t-1}+2=2026\Rightarrow s_{t-1}=1012,s_t=1014$. Khi đó khối này là $a_{1013}=1013,a_{1014}=1014$. Với các khối khác: nếu $j<t$ thì $s_{j-1}+s_j\le 1012+1011<2026$; nếu $j>t$ thì $s_{j-1}+s_j\ge 1014+1015>2026$. Vậy tự động không có khối nào khác cho điểm cố định.

**Bước 4: Đếm.** Phần trước khối đặc biệt là một bộ chỉ số độ dài có tổng $1012$: có $2^{1011}$ cách (mỗi bộ chỉ số của số nguyên dương $m$ có $2^{m-1}$ cách). Phần sau khối đặc biệt có tổng $2026-1014=1012$: có $2^{1011}$ cách. Đáp số: $$2^{1011}\cdot 2^{1011}=2^{2022}.$$